حل فصل الاحتمالات رياضيات ثاني متوسط الفصل الثاني

احتمالات-رياضيات-2م-ف2

المواضيع ذات العلاقة

من محتويات الكتاب :

جاء في تهيئة الفصل :
رحلة: قاد محمد سيارته لمدة 4 ساعات في رحلة عائلية استغرقت 18 ساعة. اكتب هذا الجزء من الوقت على صورة كسر اعتيادي في أبسط صورة.
دراسة مسحية: أجرت معلمة مسحًا شمل 144 طالبة من طالبات المدرسة، فوجدت أن حوالي ٪34 منهن يفضلن تناول السلطة في أثناء وجبة الغداء.
فكم طالبة تفضل السلطة؟
مطعم: يمكن لرواد أحد المطاعم اختيار وجبة الطعام من القائمة المجاورة.
1 ما عدد اختيارات المقبلات ؟ الطبق الرئيسي ؟ الحلوى؟
2 ضع قائمة بالوجبات المختلفة جميعها التي يقدِّمها المطعم.
الناتج: هو أيُّ واحد من الخيارات الممكنة لتجربة ما، وهناك 12 ناتجًا عند اختيار وجبة الطعام المكونة من : المقبلات والطبق الرئيسي والحلوى .
أما الحادثة، فهي ناتج واحد أو مجموعة من النواتج.
وتُسمى القائمة المنظّمة للنواتج التي تساعد على إيجاد العدد الكلي لنواتج الحوادث الممكنة بفضاء العينة.
واستعمال الرسم الشجري هو أحد طرق إيجاد فضاء العينة.

مطعم: استعمل الرسم الشجري لتحديد عدد الوجبات الممكنة في المثال
السابق.
مقبلات طبق رئيسي حلوى الناتج
حساء
لحم كعك حساء، لحم، كعك
مثلجات حساء، لحم، مثلجات
دجاج كعك حساء، دجاج، كعك
مثلجات حساء، دجاج، مثلجات
سمك كعك حساء، سمك، كعك
مثلجات حساء، سمك، مثلجات
سلطة
لحم كعك سلطة، لحم، كعك
مثلجات سلطة، لحم، مثلجات
دجاج كعك سلطة، دجاج، كعك
مثلجات سلطة، دجاج، مثلجات
سمك كعك سلطة، سمك، كعك
مثلجات سلطة، سمك، مثلجات
وبذلك يوجد 12 وجبة طعام مختلفة في قائمة الطعام.
استعمل الرسم الشجري لتحديد عدد النواتج عند إلقاء قطعة نقدية مرتين.

استعمل المعلومات التي على يمين الصفحة لتحديد عدد الطرق المختلفة لدخول ثلاثة أشخاص إلى المسجد الحرام.
هناك 155 بابًا لدخول المسجد الحرام.
وباستعمال مبدأ العد، فإنّ عدد الطرق = 155 × 155 × 155 = 3723875
يوجد 3723875 طريقة لدخول ثلاثة أشخاص إلى المسجد الحرام.
غداء: يقدِّم أحد المطاعم 3 أصناف من الطعام بخمسة أنواع من التوابل،وهذه الأصناف قد تكون باللحم أو بدونه. فما عدد خيارات الطعام الممكنة؟
يُطلق على الحادثة حادثة عشوائية، إذا كانت فرص حدوث جميع نواتجها متساوية، وفي هذه الحالة احتمالُ الحادثة يساوي نسبةَ عدد نواتج الحادثة إلى العدد الكلي للنواتج.
يتكون جدول يوم الإثنين للصف الثاني المتوسط من مواد: الرياضيات، والعلوم، والاجتماعيات، والتربية الإسلامية، والرياضة، واللغة العربية، واللغة الإنجليزية.
فما احتمال أن تكون الحصص الثلاث الأولى هي الرياضيات، والرياضة، والاجتماعيات بالترتيب؟
أوجد أولًا عدد النواتج الممكنة: 5 × 6 × 7 = 210
أيْ أن هناك 210 نواتج ممكنة، وفرصة واحدة لأن تكون الحصص الثلاث الأولى هي الرياضيات والرياضة والاجتماعيات بالترتيب.
رياضيات، رياضة، اجتماعيات = 110 _2 يوجد ترتيب واحد من 210 تراتيب.
ويمكن كتابة هذه النتيجة مقرّبة بصورة الكسر العشري 0.005 أو النسبة المئوية %0.5 .

ما احتمال أن يكون مجموع العددين الظاهرين هو 12 عند رمي مكعبي الأرقام؟
استعمل الرسم الشجري لتحديد جميع النواتج
الممكنة عند رمي مكعب أرقام 1- 6 مرتين.
1 تقنية: يستعمل موظفو إحدى الشركات رموزًا للدخول إلى شبكة المعلومات الخاصة بالشركة، فإذا كان الرمز يتكون من حرفين هجائيين، يلي ذلك أربعة أرقام، فما عدد الرموز الممكنة للموظفين؟
2 ألعاب: سُحبت كرة من صندوق يحوي كرات مرقمة 0- 9 ، وسُجّل الرقم، ثم أُعيدت الكرة إلى الصندوق، فإذا سُحبت هذه الكرة أربع مرات، فما احتمال تسجيل الرقم 1111 ؟
حدّد جميع النواتج الممكنة لحل كل مسألة مما يأتي باستعمال الرسم الشجري:
إلقاء قطعة نقدية من الفئات الآتية: ريال، 21_ ريال، 41_ ريال.
رمي مكعب الأرقام وقطعة نقود.
سحب كرة بيضاء أو حمراء من الأحجام: صغيرة، متوسطة، كبيرة، وكبيرة جدًّا.
مبيعات محل لعصائر البرتقال والتفاح والفراولة، بحجمين: صغير وكبير.

حل فصل الإحتمالات رياضيات ثاني متوسط ف2

استعمل مبدأ العد لإيجاد عدد النواتج الممكنة لكل مما يأتي:
اختيار أحد أيام الأسبوع عشوائيًّا ورمي حجر نرد.
رمي مكعب أرقام 3 مرات.
حل خمسة أسئلة من نوع الصواب والخطأ في اختبار التاريخ.
حل خمسة أسئلة من نوع الاختيار من متعدد ذي أربعة خيارات.
حلوى: يصنع محل حلوى خمسة أحجام من الكعك، وبأربع نكهات، وأربعة أنواع من الكريمة المغطاة. فكم عدد أنواع الكعك التي تصنع في المحل؟
سيارات: تتكون لوحة أرقام السيارات في المملكة العربية السعودية من ثلاثة أحرف وأربعة أرقام.
فكم لوحة أرقام يمكن إصدارها؟
وردات: تريد كل من هديل ونجلاء إهداء وردة واحدة لوالدتهما، فإذا كانت هديل تفضل الوردات الحمراء والزنابق الصفراء، في حين تفضل أختها نجلاء القرنفل الأصفر والزنبق الأحمر والجاردينيا البيضاء والأقحوان البنفسجي؛ فما احتمال أن تختار الاثنتان وردتين من اللون نفسه؟

أرقام هاتف: تدل الأرقام الثلاثة الأولى من أرقام الهاتف في إحدى الدول على المدينة التي يعيش فيها المُستخدِم، أما الأرقام الأربعة الباقية، فهي عشوائية.
فما احتمال أن تمثِّل الأرقام الأربعة الأخيرة العام الهجري الحالي؟
إلكترونيات: استعمل الجدول المجاور الخاص بجهاز تخزين إلكتروني في حل السؤالين :
1 ما عدد اختيارات هذا النوع من الأجهزة اعتمادًا على السعة التخزينية واللون؟
2 إذا أضفنا نوعًا آخر من أنواع الأجهزة الإلكترونية، فكم يصبح عدد الاختيارات المتوفِّرة؟
إذا سُحبت كرة واحدة من كلٍّ من الكيسين المجاورين، فاستعمل الرسم الشجري للإجابة عن السؤالين :
1 ما احتمال أن تكون إحدى الكرات على الأقل زرقاء؟
2 ما احتمال أن تكون إحدى الكرات على الأقل صفراء؟

غداء: استعمل المعلومات الآتية، لحل الأسئلة :
قام أحد المطاعم بإعداد وجبات غداء لطلاب الصف الثاني المتوسط، بحيث تتكون كل وجبة من لحم أو دجاج، وأرز أبيض أو أصفر، وتفاحة أو برتقالة أو موزة، وعلبة عصير أو ماء أو لبن.
1 ما عدد الاختيارات المختلفة لوجبة الغداء؟
2 ما عدد الاختيارات التي تحتوي على تفاحة؟
3 إذا تم اختيار وجبة غداء عشوائيًّا، فما احتمال أن تحتوي هذه الوجبة على موزة؟
4 ما احتمال أن يحصل الطالب على وجبة غداء تحتوي على أرز أبيض ولبن؟
غسيل: تحتوي سلة غسيل على 18 جوربًا أزرق اللون و 24 جوربًا أسود، فما احتمال سحب جوربين بلون أسود واحدًا تلو الآخر من السلة؟
ألعاب: يلعب بندر بلوحة ألعاب تتطلب رمي مكعبي أرقام، حيث يحتاج إلى الحصول على المجموع 6 في الرمية الأولى، والمجموع 10 في الرمية الثانية للحصول على مربعات إضافية. فما احتمال أن يحصل بندر على المجموع 6 ثم المجموع 10 ؟

أعطِ مثالًا لموقف له 15 ناتجًا ممكنًا.
الحسُّ العدديُّ: يقدم مطعم ثلاثة أحجام من الفطائر: صغيرة ومتوسطة وكبيرة، ويستعمل لذلك نوعين من الجبن وأربعة أنواع من الخلطة، إذا أضاف إلى القائمة الحجم الكبير جدًّا، فبكم يزيد عدد أنواع الفطائر؟
تحدٍّ: اكتب الصيغة الجبرية لإيجاد عدد نواتج رمي مكعب الأرقام س مرة.
اذكر مَزيّة واحدة لتفضيل استعمال الرسم الشجري على مبدأ العد الأساسي .
يقدِّم مطعم فطائر متنوعة، بحيث يختار الزبائن ما يفضلون من بين نوعين من الخبز وثلاثة أنواع من اللحوم.
أيُّ الجداول الآتية يمكن أن يمثِّل جميع الفطائر المختلفة التي يقدِّمها المطعم؟
حدِّد التمثيل الأنسب لكل موقف مما يأتي:
1 بيان نسبة الآيس كريم المبيعة من كل نكهة إلى مجمل المبيعات.
2 بيان أعداد الأشخاص الذين يحضرون الندوات الثقافية وفقًا لأعمارهم ضمن فئات متساوية لأعمارهم.
مثِّل بالساق والورقة مجموعة البيانات: 12 ، 15 ، 18 ، 21 ، 14 ، 37 ، 27 ، 9 .

حل فصل الإحتمالات رياضيات ثاني متوسط ف2

تنزيلات: أعلن محل للملابس الرجالية عن إمكانية الحصول على جوارب مجانية عند شراء الزبون لإحدى القطع من الجدول المجاور.
1 ما احتمال شراء ثوب؟ وما احتمال الحصول على جوارب زرقاء؟
2 ما ناتج ضرب الاحتمالين في السؤال الأول؟
3 استعمل الرسم الشجري لتحديد احتمال أن يشتري الشخص ثوبًا ويحصل على جوارب زرقاء.
تمثِّل عملية شراء القطعة واستلام الجوارب المجانية حادثة مركّبة، والحادثة المركّبة تتكون من حادثتين بسيطتين أو أكثر.
وبما أن لون الجوارب لا يعتمد على نوع القطعة التي تم شراؤها، لذا تعد هذه الحوادث مستقلة، وفي الحوادث المستقلة لا يؤثر ناتج إحدى الحوادث في الحوادث الأخرى.
إذا تم اختيار إحدى بطاقات الأحرف وتدوير مؤشِّر القرص الدوّار، فما احتمال أن يكون الناتج على كل منهما حرف علة و، أ، ي ؟
1- اختيار بطاقة تحمل حرف علة
2- توقف القرص الدوار على حرف علة
3- كلاهما حرف علة
استعمل بطاقات الأحرف ومؤشِّر القرص الدوّار في إيجاد احتمال كلٍّ مما يأتي:
أ- كلا الحرفين ب- الحرفان متماثلان.

استُعمِلَ مكعب أرقام وقرص دوّار مقسم إلى خمسة ألوان متساوية في المساحة:
أحمر، أصفر، أزرق، أخضر، وبنفسجي في لعبة. فما احتمال أن يشير مؤشر القرص إلى اللون الأزرق، ويظهر الرقم 3 أو 4 على مكعب الأرقام؟
يتطلَّب السؤال إيجاد احتمال وقوف المؤشر على اللون الأزرق، وظهور أحد الرقمين 3 أو 4 على مكعب الأرقام. الحادثتان مستقلتان؛ لأن دوران المؤشر لا يتأثر بناتج رمي المكعب.
تتطلَّب لعبةٌ رميَ مكعبي أرقام لتحريك قطعها، فما احتمال ظهور أحد الرقمين 2 أو 4 على المكعب الأول، وظهور الرقم 5 على المكعب الثاني؟
إذا كانت الحادثتان أ وَ ب غير مستقلتين، فإن احتمال حدوثهما معًا هو حاصل ضرب احتمال الحادثة أ في احتمال الحادثة ب بعد حصول الحادثة أ.
فواكه: يوجد في سلة فواكه 4 برتقالات، وَ 7 موزات وَ 5 تفاحات.
اختار مازن حبة فاكهة عشوائيًّا، واختار محمد أيضًا حبة فاكهة عشوائيًّا. أوجد احتمال أن تكون الحبتان تفاحًا؟
بما أنه لم يتم إعادة حبة الفاكهة الأولى، فإن الحادثة الأولى تؤثر في الحادثة الثانية، وتكون الحادثتان غير مستقلتين.

اختيار من متعدد: استُعمل مكعب أرقام وقرص دوّار في لعبة.
فإذا كان لمؤشر القرص فرص متساوية في الوقوف على أحد الألوان الثلاثة: أحمر وأصفر وأزرق، فما احتمال أن يقف المؤشر على اللون الأحمر، ويظهر رقم زوجي على مكعب الأرقام؟
مدارس: إذا علمت أن 56 % من طلاب إحدى المدارس يمارسون رياضة المشي، و 44 % لا يمارسونها، فاستعمل المعلومات في الجدول المجاور لحل السؤالين 20 ، 21 :
1 إذا اختير طالبان عشوائيًّا؛ فما احتمال أن يكون الطالب الأول ممارسًا رياضة المشي، وأن يُفضل الطالب الثاني مادة العلوم؟
2 ما احتمال أن يكون الطالب الأول لا يمارس رياضة المشي، وألّا يفضل الطالب الثاني مادة اللغة الإنجليزية ولا مادة الرياضيات؟
كتب: قرَّر طارق وصديقه قراءة كتاب من بين 6 كتب أدبية و 4 دينية و 3 شعرية وكتابي تاريخ وكتاب علمي، فكتبا عناوين هذه الكتب على قصاصات ورقية، ووضعاها في صندوق، ثم اختار كل منهما كتابًا بصورة عشوائية.
فما احتمال ألا يختار أيٌّ منهما كتابًا أدبيًّا؟ وهل هذه الحادثة مستقلة أم غير مستقلة؟ وضّح إجابتك.

تسوّق: وجد بقّال أن 60 % من زبائنه ينفق كل منهم أكثر من 75 ريالًا في كل زيارة، فإذا اشترى شخصان منه، فما احتمال أن ينفق كلاهما أكثر من 75 ريالًا ؟
نقود: لدى هالة 8 قطع معدنية من فئة «نصف ريال » و 6 قطع معدنية من فئة «الريال ».
فإذا سحبت إحدى القطع دون إرجاعها، ثم سحبت قطعة ثانية، فما احتمال أن تكون القطعتان من فئة «نصف ريال »؟ وهل الحادثتان مستقلتان أم لا ؟ وضّح ذلك.
مسابقات: يربح أحد المتسابقين العشرة سيارة جديدة عن طريق اختيار المفتاح الرابح عشوائيًّا من بين عشرة مفاتيح.
أوجد احتمال ألا يسحب أول ثلاثة متسابقين المفتاح الرابح.
دومينو: تتألف مجموعة الدومينو الاعتيادية من 28 قطعة، كل قطعة منها مكونة من جزأين يحمل كلٌّ منهما نقاطًا من ) 0- 6 .
فإذا كان 7 من هذه القطع تحمل الرقم نفسه على الوجهين. واختار 4 لاعبين قطعة عشوائيًّا ، فما احتمال أن يختار كل منهم قطعة لها العدد نفسه من النقاط على الجزأين؟
طقس: توقَّعت الهيئة العامة للأرصاد أن فرصة هطول الأمطار يوم الإثنين هي %80 ، وأن فرصة هطول الأمطار يوم الثلاثاء هي 30 %، أوجد احتمال هطول الأمطار يومي الإثنين والثلاثاء؟ افترض أن الحادثتين مستقلتان.
مأسلة مفتوحة: يوجد في صندوق 9 كرات بثلاثة ألوان مختلفة.
اكتب مسألة تتعلق بسحب كرتين عشوائيًّا دون إرجاعهما إلى الصندوق على أن يكون الاحتمال .
اكتشف الخطأ: تم تدوير القرص الدوّار المجاور مرتين.
وحسبت كل من منال وسارة احتمال أن يقف المؤشر على عدد زوجي في المرتين.
فأيُّهما كانت على صواب؟ وضّح إجابتك.

حل فصل الإحتمالات رياضيات ثاني متوسط ف2

شعار: ترغب إحدى الشركات في تصميم شعار لها، فإذا كان لديها الاختيارات كما في الجدول أدناه، فبكم طريقة مختلفة يمكن تصميم الشعار؟
اختيار من متعدد: موسى وإبراهيم ضمن طلاب الفصل الستة الراغبين في الانضمام للنشاط المدرسي، فإذا اختارت المدرسة طالبين منهم عشوائيًّا، فما احتمال أن يتم اختيار موسى وإبراهيم معًا؟
يحتوي صندوق على 4 كرات زرقاء و 7 حمراء و 6 صفراء و 8 خضراء و 3 بيضاء. فإذا سُحبت كرة دون إرجاع فأوجد الاحتمالات الآتية:
1- 2 زرقاء .
2- حمراء ثم بيضاء .
3- بيضاء ثم خضراء .
4- كرتان غير صفراوين وغيرُ حمراوين .
أراد المعلم معرفة رغبة طلاب الصف في المشاركة لزيارة المتحف، فما الطريقة التي يستعملها للدراسة الإحصائية لتكون صادقة؟
1- يسأل الطلاب المشاركين في النادي الفني.
2- يسأل أهالي الطلاب.
3- يسأل الطلاب الذين ترتيبهم العاشر ومضاعفات العشرة من الصف.
4- يقوم بالإعلان عن الرحلة، ويطلب إلى الطلاب أن يخبروه عن آرائهم.

ألقيت قطعتا نقد 20 مرة، فلم يظهر الشعار 4 مرات، في حين ظهرت على إحدى القطع 9 مرات، وظهرت على القطعتين معًا 7 مرات.
1- ما الاحتمال التجريبي لظهور شعارين؟
2- ما الاحتمال التجريبي لظهور شعار واحد؟
3- مثّل الرسم الشجري لإظهار نتائج إلقاء قطعتَي النقد.
4- قارن بين الاحتمال التجريبي والاحتمال النظري للحصول على شعارين عند إلقاء قطعتَي نقدٍ.
ملابس: لدى متجر قمصانٌ بأحجام مختلفة: كبير، متوسط، صغير، وبألوان مختلفة: أزرق وأسود وأبيض.
فما عدد أنواع القمصان الموجودة فيالمتجر؟
أطباء: قامت إدارة المستشفى بإجراء دراسة على 4 أقسام لمعرفة عدد ساعات مناوبة الأطباء في الشهر فكانت النتائج كما في الجدول أدناه.
فإذا كان هناك 864 طبيبًا في المستشفى، فما عدد الأطباء المناوِبِين ما بين 21 – 40 ساعة الذي تتوقعه؟
رياضة: لتحديد نوع الرياضة المفضلة أُجريَ استفتاء عشوائي في أثناء مباراة كرة طائرة.
فأجاب %72 منهم أن كرة الطائرة هي رياضتهم المفضلة، فاستنتج الباحث أن الكرة الطائرة هي اللعبة المفضلة لدى الناس، فهل استنتاجه صادق؟